Sep 30, 2014
Sep 30, 2014

Das Monte-Carlo-Modell und Wetten

Das Monte-Carlo-Modell und Wetten
Wettende suchen immer nach Möglichkeiten, Sportergebnisse vorherzusagen und z. B. die Frage zu beantworten, ob Lewis Hamilton die Formel-1-Saison 2014 gewinnt. Dieser Artikel erläutert die drei Ebenen mathematischer Modelle und erklärt, wie eine Monte-Carlo-Simulation als Teil einer ausgeglichenen Wettstrategie verwendet werden kann.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, ein Alltagsrätsel numerisch zu lösen. Wir sind jedoch daran gewöhnt, es auf traditionelle Weise zu tun: mit einer Funktion. Bei einer Funktion handelt es sich um die Beziehung zwischen einer Reihe von Eingaben und möglichen Ausgaben, wobei der Wert jeder Eingabe exakt einer Ausgabe zugeordnet ist.

Versuchen wir zum Beispiel die Wahrscheinlichkeit für einen Sieg von Lewis Hamilton beim Großen Preis von Japan zu berechnen. Eine Möglichkeit hierfür ist die Erstellung einer Funktion mit Eingabeparametern, die sich auf die Leistung auswirken, wie z. B. die Ergebnisse der letzten Rennen usw. Eine ähnliche Strategie kann beim Fußball angewendet werden.

Was ist jedoch, wenn Wettende die Wahrscheinlichkeit berechnen möchten, mit der Hamilton die Formel-1-Saison 2014 als Weltmeister beendet? Die Ergebnisse dieser Abfrage sind deutlich komplexer und können nicht mit einer einfachen Funktion gelöst werden. Hier können mathematische Modelle genutzt werden.

Deterministisches Modell

Ein deterministisches Modell ähnelt einer Funktion: die Ausgabe ist relativ einfach zu berechnen, sofern alle Eingaben bekannt sind. Für die Berechnung der WM-Chancen von Hamilton ist jedoch ein technischerer, komplizierterer Ansatz nötig.

Stochastisches Modell

Eine Möglichkeit hierfür besteht darin, die Ergebnisse der verbleibenden fünf Grand-Prix-Rennen in Japan, Russland, den USA, Brasilien und Abu Dhabi mithilfe einer Monte-Carlo-Simulation zu simulieren. Hierbei handelt es sich um eine Technik, bei der zufällig erzeugte Zahlen für eine Annäherung an das Ergebnis verwendet werden. Es handelt sich dabei um ein stochastisches Modell mit mehreren zufälligen Variablen, also nicht nur um eine einfache Funktion, mit denen wir eine Reihe von Ergebnissen ermitteln müssen.

Bei Redaktionsschluss liegen die Mercedes-Fahrer Hamilton und Nico Rosberg auf Platz eins und zwei der WM-Wertung, Daniel Ricciardo ist mit 60 Punkten Rückstand auf Hamilton Dritter.

Rein theoretisch kann sogar noch der Sechstplatzierte Valtteri Bottas die WM gewinnen, da es noch 150 Punkte zu holen gibt. Schließlich erhält der Gewinner jedes Rennens 25 Punkte und das letzte Rennen zählt doppelt. Der Einfachheit halber können wir jedoch davon ausgehen, dass nur noch die drei Bestplatzierten eine realistische Chance auf den Gewinn der Weltmeisterschaft haben.

Wettende sollten daher sämtliche Top-Ten-Positionen (die Platzierungen, für die Fahrer Punkte erhalten) simulieren. Wir beschränken uns in diesem Artikel aber auf die Simulation des Siegers und des Zweitplatzierten.

Wenn einer der drei Fahrer nicht auf einem der ersten beiden Plätze landet, gehen wir davon aus, dass er sechs Punkte erhalten hat. Dies entspricht in etwa dem Durchschnitt der Punkte, die er für eine Platzierung zwischen dem dritten (15 Punkte) und dem 11. Rang (0 Punkte) erhält. Wenn also z. B. in einer Simulation Hamilton den ersten Platz belegt (25 Punkte) und Rosberg den zweiten (18 Punkte), erhält Ricciardo 6 Punkte.

Rosberg, Hamilton und Ricciardo haben 4, 7 bzw. 3 der bisherigen 14 Grand-Prix-Rennen in der Saison 2014 gewonnen. Wir verwenden daher ein Stärkenverhältnis von 4:7:3:1 für die Fahrer Rosberg:Hamilton:Ricciardo:andere.

In diesem Fall gibt es 13 mögliche Ergebnisse (mit A bis M gekennzeichnet) für jedes Rennen. So gewinnt z. B. bei Ergebnis I in der Tabelle unten Ricciardo das Rennen, während ein anderer als die beiden Mercedes-Fahrer den zweiten Platz belegt. Die Wahrscheinlichkeit eines Rennsiegs von Ricciardo beträgt 3:15, da das Verhältnis 4:7:3:1 lautet. Die Wahrscheinlichkeit, dass weder Hamilton noch Rosberg den zweiten Platz belegen, beträgt 1:12, da das Verhältnis ohne Ricciardo jetzt 4:7:1 lautet.

Entsprechend beträgt die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Ricciardo 25 Punkte einfährt, während die beiden anderen jeweils 6 Punkte erzielen 3:15 x 1:12 = 1:60. Die Wahrscheinlichkeit für jedes Resultat sowie die kumulativen Werte findest du in der Tabelle unten.

PfadABCDEFGHIJKLM
Rosberg 25 25 25 18 6 6 18 6 6 18 6 6 6
Hamilton 18 6 6 25 25 25 6 18 6 6 18 6 6
Ricciardo 6 18 6 6 18 6 25 25 25 6 6 18 6
Wahrscheinlichkeit 17,0 % 7,3 % 2,4 % 23,3 % 17,5 % 5,8 % 6,7 % 11,7 % 1,7 % 1,8 % 3,1 % 1,3 % 0,4 %
Kumulative Wahrscheinlichkeit 17,0 % 24,2 % 26,7 % 50,0 % 67,5 % 73,3 % 80,0 % 91,7 % 93,3 % 95,1 % 98,2 % 99,6 % 100 %

Die kumulativen Werte können jetzt zum Schätzen der Ergebnisse verwendet werden. Fünf Rennen stehen noch aus. Generieren wir also fünf zufällige Zahlen zwischen null und eins. Dies ist in Excel mit der Formel =ZUFALLSZAHL() möglich.

Für jeden Wert verwenden wir die Tabelle, um die Punktzahl zu schätzen, die die drei Fahrer erzielt haben. Die erste Zufallszahl ist z. B. 0,4215. Sie liegt zwischen 26,7 % und 50,0 %. Wir würden Ergebnis D für das nächste Rennen in Japan simulieren: Hamilton auf Platz 1, Rosberg auf Platz 2.

Bei jeder Simulation addieren wir die aktuellen WM-Punkte der Fahrer zu den Punkten aus den fünf simulierten Rennen. Sieger ist am Ende der Fahrer mit den meisten Punkten.

Diese Vorgehensweise solltest du mit möglichst vielen Simulationen wiederholen, damit die Daten nicht aufgrund einer zu kleinen Stichprobe insignifikant sind. Wenn Hamilton z. B. in 10.000 Simulationen 4.000-mal gewinnt, liegt seine Chance auf den Gewinn der Weltmeisterschaft bei 0,4 bzw. 40 %.

Dynamische Modelle

Bei dynamischen Modellen verbessern sich die Parameter, während das Modell simuliert wird.

In dieser Darstellung verändert sich das Stärkenverhältnis nach der Simulation jedes Rennens. Die Daten berücksichtigen auch andere Variablen wie Form, Dynamik, Setup des Autos usw.

Wenn das Modell z. B. davon ausgeht, dass Hamilton den Großen Preis von Japan gewinnt, kann das System die Auswirkung dieses Erfolgs auf das folgende Rennen in Russland mit einberechnen. Das Stärkenverhältnis würde sich für den Großen Preis von Russland z. B. in 4:8:3:1 ändern.

Schlussfolgerung

Die Schlussfolgerung lautet, dass es drei Hauptebenen für mathematische Modelle gibt: deterministische, stochastische und dynamische Modelle. Je höher die Ebene, desto mehr technisches Wissen ist nötig. Monte-Carlo-Simulationen können für die beiden letzteren verwendet werden. Der wesentliche Unterschied besteht dabei darin, dass das Modell bei einem dynamischen Ansatz aus seinen eigenen Simulationen lernt.

Unter dem Strich liefert das auf Wahrscheinlichkeitsverteilungen basierende Modell keine endgültige Antwort wie dein „Bauchgefühl“. Stattdessen handelt es sich beim Ergebnis des Modells ebenfalls um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, an der du die Bandbreite der möglichen Ergebnisse sowie deren relative Wahrscheinlichkeit ablesen kannst.

Ähnlich wie andere Modelle hat jedoch auch das Monte-Carlo-Modell seine Schwächen. Da die Daten von Variablen abhängig sind, die ins System eingegeben werden müssen, müssen Wettende sicherstellen, dass ihre Informationen verlässlich sind, um ein „garbage in, garbage out“-Szenario zu vermeiden. Alle hier zugrunde gelegten zentralen Annahmen können kritisch hinterfragt werden. Ein Beispiel:

  • Das Stärkenverhältnis berücksichtigt nicht, dass bestimmte Fahrer und Autos auf bestimmten Rennstrecken oder bei bestimmten Klimabedingungen besser zurechtkommen.
  • Die zugeteilten sechs Punkte sind nicht unbedingt realistisch, da hierbei davon ausgegangen wird, dass jeder der drei Fahrer in jedem Rennen Punkte erhält.

Im Idealfall wird die Anfälligkeit der Ergebnisse für diese Annahmen getestet. Durch unzureichende Informationen wird das System sofort aus dem Gleichgewicht gebracht. Aus diesem Grund sollten Monte-Carlo-Modelle nicht allein, sondern nur gemeinsam mit einer ausgewogenen Wettstrategie zum Einsatz kommen.

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