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Mrz 14, 2016
Mrz 14, 2016

Wie oft findet während eines Spiels ein Führungswechsel statt?

Wie oft findet während eines Spiels ein Führungswechsel statt?
In jedem Stadium führt entweder eine Seite oder es steht gleich mit einer variablen Anzahl von Führungswechseln. Hast du dich jemals gefragt, wie oft ein Führungswechsel statt findet? Tipp: Folge nicht deiner Intuition, wenn du Geld setzt. Erfahre im Folgenden, warum dies so ist.

Angefangen vom Tragen eines Regenschirms bis zum Wetteinsatz, treffen wir Eintscheidungen, die auf unserem Verständnis von Wahrscheinlichkeit im täglichen Umgang beruhen. Unser natürlicher Instinkt schafft es trotzdem, uns in die Irre zu führen, wobei Statistiken unsere vertrauenswürdigsten Verbündeten sind, um auf den Pfad der Rechtschafffenheit zurück zu finden.

Hinweis: Die in diesem Artikel offenbarte mentale Falle ist so wiedersprüchlich, dass es sogar die erfahrensten Statistiker erstaunt hat. Bevor wir jedoch mit der Theorie weiter machen, wollen wir unseren natürlichen Instinkt einer Prüfung unterziehen. 

Zwei gleich kompetente Snooker-Spieler treten gegeneinander an. Wie oft findet deiner Meinung nach ein Führungswechsel statt? Erwartest du mehr oder weniger Führungswechsel, je mehr Frames sie spielen?

Da wir von gleichwertigen Fähigkeiten ausgehen, können wir das bekannteste Zufallselement, z. B. den Coin-Flip, nutzen, um den Führungswechsel zu beobachten, indem wir einem Spieler Kopf und dem anderen Zahl zuordnen. Damit ein Führungswechsel statt findet, muss der Spieler im Rückstand zuerst aufholen. Beginnen wir also damit, wie oft ein Ausgleich gegeben ist.

Wenn wir eine Münze sechs Mal werfen, wissen wir intuitiv, dass das Ergebnis, sechs aufeinanderfolgende Male Kopf zu werfen, unwahrscheinlich ist. Sechs Flips können 64 mögliche Kombinationen ergeben. Die Wahrscheinlichkeit sechs gleiche Würfe zu haben - entweder alle Kopf oder alle Zahl - liegt bei 2/64, oder ca. 3%. (1 x ½ x ½ x ½ x ½ x ½)

Wir verstehen auch, dass trotz einer 50%igen Wahrscheinlichkeit jedes Ergebnisses, dies nicht unbedingt bedeutet, dass in einer Stichprobe von nicht mehr als sechs Münzwürfen wir zwangsläufig drei Mal Kopf und drei Mal Zahl erhalten.

Die tatsächliche Wahrscheinlichkeit der gleichen Anzahl von Kopf und Zahl bei sechs Münzwürfen liegt bei 20/64 (ca. 31%) oder ca. einem von drei. Bedeutet das, dass bei drei Wiederholungen von sechs aufeinanderfolgenden Münzwürfen in unserem Münzwurf-Experiment, ein Ergebnis mit der gleichen Anzahl von Kopf und Zahl garantiert ist? Auch das nicht unbedingt. 

Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ausgleichs

Wie sind also die Chancen, bei einer unterschiedlichen Anzahl von Münzwürfen, die gleiche Anzahl von Kopf und Zahl zu erhalten? Zu jedem Zeitpunkt führt einweder Kopf oder Zahl, oder es herrscht Gleichstand.  Um einen Gleichstand in jeder Reihe zu erzielen, muss die gesamte Anzahl an Würfen ausgeglichen sein.

Mit einer zunehmenden Anzahl von Würfen (2,4,6,8…) gehen wir davon aus, dass die Wahrscheinlichkeit der gleichen Anzahl von Kopf oder Zahl steigt. Das ist eine intuitive Anwendung des Gesetzes des Durchschnitts; die allgemeine Überzeugung, dass mit zunehmender Stichprobengröße, sich das Ergebnis immer mehr dem Durchschnitt der gesamten Bevölkerung annähert, oder, einfacher, der Grund, weshalb wir wahrscheinlich auf eine Woche von Regentagen einen Sonnentag erwarten.

Aus statistischer Sicht ist das jedoch nicht nur falsch; es ist grundfalsch.

In „Taking Chances” untersucht John Haigh die Wahrscheinlichkeit der gleichen Anzahl von Kopf und Zahl an einem beliebigen Punkt in einer Reihe unabhängiger Würfe.

Wahrscheinlichkeit der gleichen Anzahl von Kopf und Zahl
Anzahl der Würfe 2 4 6 8 10
Chance auf Gleichstand 1/2 3/8 5/16 35/128 63/256
Wahrscheinlichkeit 50% 37,5 % 31.25% 27.34% 24.6%

Das aus den Zahlen hervorgehende Muster ist so wiedersprüchlich, dass sogar die mathematisch Strukturiertesten unter uns, die Daten zweimal prüfen müssen, um dem Glauben zu schenken. Die Daten zeigen, dass mit Zunahme der Würfe, die Wahrscheinlichkeit eines Gleichstands tatsächlich abnimmt.

Wenn wir die Münze 20 Mal werfen, wann findet im Verlauf erwartungsgemäß der letzte Ausgleich zwischen Kopf und Zahl statt? Das kann bei jedem der 2,4,6…, 16, 18 oder 20 Würfe sein. Bei 11 unterschiedlichen Antworten, worauf würdest du dein Geld setzen? Einen kurzer Wurf, einen langer Wurf oder einen mittleren?

Viele neigen zu der Antwort, irgendwo in der Mitte, wobei der amerikanische Professor für Statistik, David Blackwell, herausgefunden hat, dass es eine totale Symmetrie hinsichtlich der Mitte gibt. Die Chance, dass der Zeitpunkt, zu dem Kopf und Zahl bei 16 Würfen zuletzt gleich standen, war die Gleiche wie bei 4 Würfen, wobei 0 und 20 die höchsten individuellen Chancen hatten, mit abnehmender Wahrscheinlichkeit in Richtung Mitte. 

Chancen auf den letzten Gleichstand zu verschiedenen Zeiten in einer Reihe von 20 Münzwürfen
Zeitpunkt des letzten Gleichstands 0 oder 20 2 oder 18 4 oder 16 6 oder 14 8 oder 12 10
Wahrscheinlichkeit 17.62% 9.27% 7.36% 6.55% 6.17% 6.06%

Mit anderen Worten, wenn ein Ausgleich nicht frühzeitig statt findet, kann es sehr lange dauern, bis einer statt findet.

Wie oft findet ein Führungswechsel statt?

Was bedeutet oben Beschriebenes für die Häufigkeit des Führungswechsels? Nachfolgend ist eine Tabelle mit der wahrscheinlichen Anzahl von Führungswechseln zwischen Kopf und Zahl in einer Reihe von 101 Würfen. 

Anzahl der Führungswechsel Wahrscheinlichkeit
0 15.8%
1 15.2%
2 14%
3 12.5%
4 10.7%
5 8.8%
6 6.9%
7 5.2%
8 3.8%
9 2.7%
10 1,8 %
11 2.6%

In 68% der Zeit findet ein Führungswechsel nicht mehr als vier Mal statt. Fünf bis neun Wechsel finden in ca. 27% der Zeit statt und zehn oder mehr nur in 4%-5%.

Um die Sache noch interessanter zu machen - die Hälfte der Zeit hat der Punktestand in der zweiten Hälfte der Reihe keinen Gleichstand erreicht, was bedeutet, dass, welche Seite auch immer, Kopf oder Zahl, in der Halbzeit vorne lag, über die gesamte Hälfte des Experiments in Führung blieb. 

Die Anwendung der Weisheit des Münzwurfs bei Sportwetten

An diesem Punkt ist die Anwendung auf Wetten hoffentlich klar geworden. Was uns das Münzexperiment lehrt, ist, dass unter gleichwertig kompetenten Spielern, es normalerweise längere Perioden ohne Ausgleich gibt und dann möglicherweise mehrere Ausgleiche nahe beieinander. Es wäre wahrscheinlicher gewesen, dass Ausgleiche direkt am Anfang oder direkt am Ende eines Spiels stattgefunden hätte, als um die Mitte des Spiels.

Haigh berechnete, dass bei 50% der Snooker-Spiele zwischen Spielern mit gleichen Fähigkeiten, der nach 16 Frames führende Spieler die gesamte Zeit bis nach dem 32 Frame in Führung bleibt. Kann man so weit gehen, dass man die gleiche Logik auch auf Fußball anwendet? Obwohl Leicester City auf dem richtigen Weg ist die Theorie zu beweisen, besteht eine Liga aus Teams mit unterschiedlichem Qualifikationsniveau; deswegen sind weitere Untersuchungen erforderlich, bevor wir sicher gehen können in der Annahme, dass die Regel gilt.

Nicht jedes Ergebnis ist natürlich so eindeutig wie ein Coin-Flip, da eine Anzahl situationsbedingter Faktoren zu berücksichtigen sind, wie beispielsweise Verlustaversion - die Tendenz, in Situationen, in denen wir versuchen eine Niederlage zu vermeiden, eine bessere Leistung zu bringen, als wenn wir nur versuchen würden zu gewinnen. Das Münzwurf-Experiment ist ein theoretisches, aber trotzdem ein äußerst wichtiges Muster für Sport-Wetter.

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