Mai 15, 2020
Mai 15, 2020

Wie viel sollten Sie pro Wette riskieren?

Erklärung zum erwarteten Wert und zum erwarteten Nutzen

Nutzen bei Unsicherheit

Wie berechnet man den optimalen Wetteinsatz?

Wie viel sollten Sie pro Wette riskieren?

Um bei Sportwetten zu gewinnen, benötigen Sie eine Wettstrategie mit einem positiven erwarteten Wert, also einer Einschätzung Ihrer durchschnittlichen Gewinne pro Wette. Aber wie viel Kapital sollten Sie bei jeder Wette riskieren, um den größtmöglichen Profit zu erzielen? Dafür ist das Konzept der Nutzenfunktion sehr hilfreich. Lesen Sie weiter, um alles darüber zu erfahren.

Der erwartete Wert wurde als Konzept zuerst im 17. Jahrhundert von den französischen Mathematikern Pascal und Fermat untersucht, die versuchten, ein Punktspiel zu lösen. Der Wert zeigt uns, welchen Gewinn wir durchschnittlich bei einer Wette erwarten können. Leider sagt dieses Konzept wenig darüber aus, wie viel man bei einer Wette riskieren sollte – aber genau hier kommt die Nutzenfunktion ins Spiel. 

Erklärung zum erwarteten Wert und zum erwarteten Nutzen

Der erwarteter Wert (Expected Value, EV) lässt sich für Wetten berechnen, indem Sie Ihre Gewinnwahrscheinlichkeit (p) mit dem potenziellen Gewinn pro Wette multiplizieren, und dann davon das Produkt aus Verlustwahrscheinlichkeit und dem potenziell verlorenen Betrag pro Wette abziehen. Da gilt: Verlustwahrscheinlichkeit gleich 1 (bzw. 100 %) minus die Gewinnwahrscheinlichkeit, können wir folgendermaßen vereinfachen:
expected-utility-betting.jpg

‚o‘ steht für die europäischen Dezimalquoten der Buchmacher. Der erwartete Wert ist die wichtigste Zahl für alle Wettenden, da sie Auskunft dazu gibt, ob sie langfristig Geld gewinnen oder verlieren.

Nachdem ein Wettender den erwarteten Wert entdeckt hat, muss er entscheiden, wie viel Kapital er einsetzen sollte. Bereits der Mathematiker Daniel Bernoulli aus dem 18. Jahrhundert wusste, wie tollkühn es ist, den Einsatz basierend auf dem objektiven Wert zu bestimmen, ohne die subjektiven Konsequenzen einer Wette in Betracht zu ziehen – die Attraktivität dessen, was gewonnen (oder verloren) werden kann. Diese subjektive Attraktivität wird als Nutzen bezeichnet.

Nutzen bei Unsicherheit

Stellen Sie sich vor, uns stehen zwei Truhen zur Auswahl. Die erste enthält 10.000 € Bargeld. Die zweite Truhe enthält entweder 20.000 € oder nichts; wir wissen nicht, was davon zutrifft, aber beides ist gleich wahrscheinlich. Nun müssen Sie sich für eine der Truhen entscheiden. Wie fällt Ihre Wahl aus?

„Technisch gesehen erlaubt der Ansatz von Kelly den Gewinnern unter den Wettenden, langfristig ihr Guthaben zu maximieren“

Dies ist ein klassisches Puzzle für die Nutzenfunktion. Mathematisch gesehen haben beide Truhen den gleichen erwarteten Wert, nämlich 10.000 €. Wenn Sie das Spiel endlos wiederholen könnten, würde es keine Rolle spielen, für welche Truhe Sie sich entscheiden. Allerdings haben Sie bei diesem Spiel nur einen Versuch. Das Gesetz der großen Zahlen findet keine Anwendung.

Wenn Sie die erste Truhe nehmen, erhalten Sie auf jeden Fall 10.000 €. Bei der zweiten Truhe ist das Glück im Spiel: Mit Glück sind Sie 20.000 € reicher, wenn Sie Pech haben, gehen Sie leer aus. Bei diesen Summen entscheiden sich die meisten Menschen wenig überraschend für die erste Truhe.

Von der Nutzen-Perspektive aus sind sichere 10.000 € ganz klar deutlich besser, als vielleicht gar nichts zu erhalten. Menschen, die in Sicherheiten mehr Nutzen sehen als in Wetten, wenn beides gleich wahrscheinlich ist, sind offensichtlich nur ungern bereit, Risiken einzugehen.

Wie berechnet man den optimalen Wetteinsatz?

Daniel Bernoulli überlegte sich, dass rationale Menschen bei unsicherem Ausgang dazu tendieren, Risiken zu vermeiden. Er stellte daraufhin die folgende Hypothese auf: „Der Nutzen, der sich aus einem kleinen Anstieg an Vermögen ergibt, ist umgekehrt proportional zur Menge der vorher besessenen Güter.” Wenn Sie mehr erhalten, haben Sie also einen gefühlten geringeren Nutzen, je nachdem wie viel Vermögen Sie bereits besitzen. Eine derartige Nutzenfunktion ist logarithmisch und besser als Gesetz des abnehmenden Grenznutzens von Vermögen bekannt.

„Auch wenn das Kelly-Kriterium zu einer erheblichen Volatilität bei den Erträgen führt, können gewinnende Wettende langfristig ihr Guthaben maximieren.

Eine der praktischeren Anwendungen der Theorie von Daniel Bernoulli ist ein Plan für das Geldmanagement, den viele Wettenden besser als sog. Kelly Kriterium kennen. John Kelly entwickelte diesen Plan im Jahr 1956 bei seiner Arbeit für die Bell Labs von AT&T, wo er damit beschäftigt war, Rauschen in der Leitung bei Telefonaten auf lange Entfernungen zu beheben. Der Plan wurde schnell von Wettenden und Investoren angenommen, um ihr Geldmanagement zu optimieren und mehr Profit zu erzielen.

Während bei Kelly eine ganz andere Motivation dahinter stand als bei Bernoulli, sind seine Kriterien das mathematische Äquivalent der logarithmischen Nutzenfunktion. Praktisch werden Wettende dabei angewiesen, einen Prozentsatz ihres Gesamtvermögens zu wetten, der direkt proportional zum erwarteten Wert (EV) und indirekt proportional zur Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

Da gilt: EV = po – 1 (wobei p die ‚wahre‘ Erfolgswahrscheinlichkeit ist und o die Dezimalquote für die Wette), können wir den Einsatzprozentsatz von Kelly (K) wie folgt berechnen:

kelly-criterion-betting.jpg
Im Grunde maximiert das Kelly Kriterium also den erwarteten logarithmischen Nutzen. Das Wetten mit dem Kelly Kriterium führt jedoch zu einer erheblichen Volatilität bei den Erträgen, was nicht für den Nutzen aller Wettenden geeignet ist. Außerdem werden präzise Schätzungen der ‚wahren‘ Ergebniswahrscheinlichkeiten benötigt. 

Dennoch erlaubt der Ansatz von Kelly den Gewinnern unter den Wettenden technisch gesehen, ihr Guthaben langfristig zu maximieren“ Natürlich müssen Wettende einen Buchmacher finden, der Geldmanagement-Strategien wie Kelly nicht verdächtig findet und das Wetten nach einem Gewinn beschränkt. Pinnacle hat da einen unübertroffenen Ruf.

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