Sep 21, 2016
Sep 21, 2016

Wie viel solltest du pro Wette riskieren?

Wie viel solltest du pro Wette riskieren?
Um Sportwetten zu gewinnen, brauchst du eine Wettstrategie mit einem positiven erwarteten Wert, d.h. einer Schätzung deiner durchschnittlichen Gewinne pro Wette. Doch wie viel Kapital solltest du pro Wette riskieren, um maximale Profite zu erzielen? Dazu musst du zunächst einmal das Konzept der Nutzenfunktion verstehen. Im Folgenden erfährst du mehr.

Der Erwartungswert – ein Konzept, das zuerst im 17. Jahrhundert von den französischen Mathematikern Pascal und Fermat entwickelt wurde, als sie versuchten, das Problem eines Punktespiels zu lösen – zeigt uns, welchen Gewinn wir im Durchschnitt von einer Wette erwarten können. Er sagt jedoch nicht viel dazu aus, wie viel Kapital ein Wettender mit einer Wette riskieren sollte. Und da kommt die Funktion des erwarteten Nutzens ins Spiel. 

Erklärung von Erwartungswert & erwartetem Nutzen

Der Erwartungswert (EW) im Wetten kann errechnet werden, indem du einfach deine Gewinnwahrscheinlichkeit (p) mit dem Betrag multiplizierst, den du pro Wette gewinnen kannst, und dann die Verlustwahrscheinlichkeit multipliziert mit dem Betrag, den du pro Wette verlieren kannst, subtrahierst. Da die Verlustwahrscheinlichkeit äquivalent zu 1 (oder 100%) abzüglich der Gewinnwahrscheinlichkeit ist, gelangen wir zur folgenden Vereinfachung:
expected-utility-betting.jpg

„o“ steht für die europäischen Dezimalquoten, die der Buchmacher anbietet. Der Erwartungswert ist für jeden Wettenden die wichtigste Zahl, da sie ihn darüber informiert, ob er auf lange Sicht gesehen mit einem Gewinn oder Verlust von Geld rechnen kann.

Sobald der Wettende den Erwartungswert ermittelt hat, muss er dann entscheiden, wie viel seines Kapitals er zum Wetten einsetzen will. Im 18. Jahrhundert stellte der Mathematiker Daniel Bernoulli fest, dass nur tollkühne Menschen auf der Grundlage des objektiven Erwartungswertes entscheiden, wie viel sie riskieren, ohne dabei die subjektiven Konsequenzen der Wette zu berücksichtigen, also basierend auf der Erwünschtheit dessen, was gewonnen (oder verloren) werden soll. Diese subjektive Erwünschtheit wird als Nutzen bezeichnet.

Nutzen unter Unsicherheit

Uns werden zwei Kisten angeboten. Die erste enthält 10.000 USD in bar. Die zweite Kiste enthält 20.000 USD in bar oder gar nichts. Wir wissen es nicht, aber beide Optionen sind gleichermaßen wahrscheinlich. Du wirst nun gebeten, die eine der Kisten auszusuchen. Welche würdest du auswählen? 

Das ist eine klassische Zwickmühle, in der die Nutzenfunktion zum Tragen kommt. Mathematisch gesehen haben beide Kisten denselben Erwartungswert, nämlich 10.000 USD. Wenn du das Spiel immer und immer wieder spielen würdest, würde es am Ende keinen Unterschied machen, welche Kiste du wählst. In diesem Spiel darfst du aber nur ein einziges Mal spielen. Das Gesetz der großen Zahlen findet keine Anwendung.

Wenn du die erste Kiste wählst, gewinnst du sicher 10.000 USD. Wenn du die zweite wählst, entscheidet der Zufall, was du bekommst: Du kannst Glück haben und um 20.000 USD reicher sein oder du kannst Pech haben und gar nichts bekommen. Angesichts dieser Geldsummen ist es kaum überraschend, dass die meisten Menschen die Sicherheit der ersten Kiste wählen.

Aus der Nutzenperspektive ist die Sicherheit von 10.000 USD deutlich besser als das Risiko, dass man am Ende gar nichts bekommt. Menschen, die einen höheren Nutzen aus Sicherheiten ziehen als aus Glücksspielen mit derselben mathematischen Erwartung legen eine Risikoaversion an den Tag.

Wie berechnet man den Betrag für den optimalen Einsatz?

Daniel Bernoulli hat dargelegt, dass das standardmäßige rationale Verhalten von Menschen, wenn sie Entscheidungen unter Unsicherheit treffen, als Risikoaversion zu bezeichnen ist. Er hat diese Hypothese zusammengefasst, indem er sagte, dass der kleinste aus dem Gewinnzuwachs entstehende Vorteil umgekehrt proportional zu dem bislang vorhandenen Vermögen sei. Anders gesagt: Je mehr Reichtum du bereits hast, desto weniger Nutzen wirst du darin erkennen, mehr zu gewinnen. Eine solche Nutzenfunktion ist logarithmisch und allgemein bekannter als der abnehmende Grenznutzen von Reichtum.

Auch wenn die Anwendung der Kelly-Formel eine signifikante Volatilität der Erträge verursachen kann, ermöglicht sie siegreichen Wettenden, ihr Guthaben langfristig zu maximieren.

Eine der praktischeren Anwendungen der Theorie von Daniel Bernoulli ist ein Geldverwaltungsplan, der vielen Wettenden unter dem Namen der Kelly-Formel bekannt ist. Diese Formel, die von John Kelly während seiner Arbeit bei AT&T's Bell Labs 1956 entwickelt wurde, als er ein Problem mit Störgeräuschen bei Ferngesprächen am Telefon lösen wollte, wurde von Wettenden und Investoren schnell übernommen, wenn es darum ging, die Geldverwaltung und das Gewinnwachstum zu optimieren.

Während Kellys Motivation gänzlich anders war als die von Bernoulli, ist seine Formel doch mathematisch äquivalent zur logarithmischen Nutzenfunktion. Praktisch gesehen führt sie Wettende dahin, bei einer Wette einen gewissen Prozentsatz ihres Gesamtvermögens zu riskieren, der zugleich direkt proportional zum Erwartungswert (EW) und umgekehrt proportional zur Erfolgswahrscheinlichkeit ist.

Wenn wir uns noch einmal erinnern, dass EW = po – 1 ist (wobei p die „echte“ Erfolgswahrscheinlichkeit ist und „o“ die Dezimalquoten für die Wette repräsentiert), können wir den Einsatzprozentsatz nach Kelly (K) wie folgt berechnen:

kelly-criterion-betting.jpg
Im Wesentlichen maximiert die Kelly-Formel den erwarteten logarithmischen Nutzen. Eine Konsequenz des Wettens unter Anwendung der Kelly-Formel ist eine signifikante Volatilität der Erträge – ein Merkmal, das nicht für jedermanns Nutzen das Beste ist. Darüber hinaus erfordert ihre Anwendung exakte Schätzungen der „echten“ Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen. 

Dennoch ermöglicht der Ansatz nach Kelly es Wettenden, ihr Guthaben auf lange Sicht gesehen zu maximieren. Natürlich braucht ein Wettender, um dies zu erreichen, einen Buchmacher, der in Bezug auf spezielle Geldverwaltungsstrategien wie der von Kelly nicht misstrauisch ist, und der – was noch wichtiger ist – Wetten aufgrund von Gewinnen nicht einschränkt. In dieser Hinsicht hat Pinnacle einen einzigartigen Ruf.

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