Znovu Kellyho kritérium: Posouzení rizika

Mnoho toho už bylo řečeno o Kellyho kritériu jako nejúčinnější strategii pro správu peněz umožňující úspěšným sázkařům maximálně urychlit nárůst dostupných prostředků. V Informačních zdrojích o sázení společnosti Pinnacle vyšlo několik článků o tom, k čemu Kellyho kritérium slouží, jak funguje a jaké má výhody a nevýhody. V tomto článku uvádím jednoduché posouzení rizikovosti této metody určování výše sázek.

Co je to Kellyho kritérium?

Autor píšící pro společnost Pinnacle a matematik na Maltské univerzitě Dominic Cortis popisuje Kellyho kritérium jako způsob výpočtu podílu z vašich peněz určených na sázení, který máte vsadit na výsledek s kurzem větším než očekávaným tak, aby vaše vlastní prostředky exponenciálně rostly.

Vytvořil ho John Kelly v roce 1956, když pracoval v Bellových laboratořích společnosti AT&T. Kellyho kritérium představuje ekonomicky odůvodněný a matematicky přesný způsob, jak vypočítat optimální výši sázky, díky níž dosáhnete maximálního celkového růstu vašeho zůstatku. Bere přitom v úvahu očekávanou míru návratnosti a rizika. Jde o tuto jednoduchou rovnici:

Výhodou je myšlena vaše výhoda, kterou máte (nebo si myslíte, že máte) oproti sázkovému kurzu vypsanému bookmakerem. Například pokud si myslíte, že spravedlivý kurz určitého výsledku je 2,00 (tedy 50% pravděpodobnost úspěchu), ale bookmaker vám nabídne kurz 2,10, vypočítáte svoji výhodu jako 2,10/2,00 = 1,05.

Výhoda je jen jiným způsobem, jak nazvat očekávanou hodnotu. Kurz ve výše uvedené rovnici je třeba uvést v desetinném zápisu. V tomto případě by vám tedy podle Kellyho vyšla výše sázky 0,05 neboli 5 %.

Kellyho kritérium je příkladem proporcionální metody určování výše sázek. U těchto metod je výše sázky úměrná vašemu zůstatku. Proto se zvyšuje a klesá spolu s tím, jak vám přibývá a ubývá peněz. Naproti tomu metody s rovnoměrnou výší sázek používají fixní předem určenou částku.

Na Kellyho kritériu je mimořádné to, že bere v úvahu i velikost vaší vnímané výhody a hodnotu kurzu. Čím větší máte výhodu, případně čím nižší je kurz, tím větší částku budete riskovat.

Je jasné, že při výpočtu Kellyho procentuální výše sázky nastanou problémy v případě, kdy sázíte současně na více než jeden výsledek nebo zápas. Společnost Pinnacle vydala článek, který o tom pojednává. Ve zbytku tohoto článku se však budu zabývat pouze zjednodušenou formou Kellyho kritéria použitelného v případě, že sázky podáváte jednu po druhé.

Jak riskantní je Kellyho kritérium?

Vzhledem k tomu, že jde o proporcionální metodu správy peněz, by mělo být jasné, že při jejím používání technicky vzato nemůžete zkrachovat. Čím více prohráváte, tím menší jsou vše sázky. Teoreticky ale nikdy neklesnou na nulu. 

Na rozdíl od kasinových her založených na známých matematických algoritmech je v případě tak komplexních systémů, jako je například fotbalový zápas, v podstatě nemožné „znát“ skutečnou pravděpodobnost.

Prakticky však evidentně bude existovat limit, po jehož dosažení budou vaše ztráty považovány za nepřijatelné. Proto je možná lepší vzít v úvahu kolísání výše vašeho zůstatku a to, zda mu vaše preference v oblasti rizika odpovídají.

Hostující autor společnosti Pinnacle a akciový obchodník Joe Peta v minulosti prohlásil, že problém s používáním Kellyho kritéria spočívá v tom, že „ať vám výpočet očekávaného výnosu vyjde jakkoli, bude kolísání nesmírně vysoké a... naprosto nevhodné pro investování.“ Máme prý uvažovat třeba teoretického sázkaře, který vyhrává 52 % svých sázek s kurzem 2,00. Podle Kellyho má být procentuální výše jedné sázky 4 %. 

Pokud by šlo o sérii 250 sázek, tvrdí Peta, že je více než 10% šance, že na konci budete mít celkem nejméně o 40 % méně peněz. Má pravdu? 

Zdá se, že více méně ano. Když jsem tyto parametry použil v simulaci Monte Carlo s 10 000 opakováními, skončilo 14 % pokusů na konečné částce menší než 60 % počátečního objemu prostředků. Naproti tomu u sázkové strategie s fixní výší sázky, kdy bychom ve všech 250 sázkách vsadili 4 jednotky (přičemž bychom začínali se 100 jednotkami), je to pouze 9 %.

Následující tabulka obsahuje podrobnější srovnání Kellyho kritéria a fixní výše sázky. Jak jsem uvedl v jednom z předchozích článků, ačkoli proporcionální výše sázky umožňuje lépe optimalizovat ziskovost (v této simulaci byl průměrný závěrečný zůstatek u Kellyho kritéria 149 a u fixní výše sázky 140 jednotek), trvá déle, než se vzpamatujete z období neúspěchů.

Větší podíl ztrátových závěrečných zůstatků je jednoduše důsledkem většího kolísání zůstatků způsobeného proporcionálním určováním výše sázek. Téměř čtyři z deseti těchto simulací skončily v případě Kellyho kritéria ztrátou, zatímco u fixní výše sázky to byla jen jedna ze čtyř.

Jak se změní riziko, pokud máme větší výhodu? Zopakoval jsem simulaci pro 54% pravděpodobnost úspěchu všech sázek se stejnou výší výhry i prohry s Kellyho výší sázky 8 %. Takových výsledků dokáže dlouhodobě dosahovat jen velmi málo sázkařů.

Netřeba zdůrazňovat, že pokud předpokládáte, že vyhrajete 52 % svých sázek (opět se stejnou výší výhry i prohry), a nakonec jich vyhrajete jen 49 %, dlouhodobě na tom proděláte.

Je jasné, že při dvojnásobné výhodě neboli očekávané hodnotě každé sázky je očekávaná ziskovost podstatně lepší u Kellyho kritéria než u fixní výše sázek (průměrný konečný zůstatek 494 oproti 260). Jenže je to stále za cenu podstatně větší variability výkonu.

Průměrný očekávaný konečný zůstatek je vyšší, protože je hodnota zkreslená malým počtem velmi vysokých zůstatků. Je zde však daleko více průměrných a prodělečných zůstatků než při fixních sázkách. Medián konečného zůstatku je pouhých 223. Pravděpodobnost, že po 250 sázkách se stejnou výší výhry a prohry s 8% výhodou při použití Kellyho strategie proděláte 40 % původního objemu peněz, je stále 14 %. Joe Peta by jistě řekl, že žádný finanční investor, který to má v hlavě v pořádku a dosahuje 8% návratnosti investic, by takové riziko nepřijal.

Známe skutečně svoji výhodu?

Tyto simulace předpokládají, že přesně známe pravděpodobnost výhry a tedy i přesnou výhodu, kterou máme oproti kurzu sázkové kanceláře. Jak nám ale připomněl Joe Peta, modelování výsledků sázek na sporty není počítání karet v blackjacku.

Na rozdíl od kasinových her založených na známých matematických algoritmech je v případě tak komplexních systémů, jako je například fotbalový zápas, v podstatě nemožné „znát“ skutečnou pravděpodobnost. Důsledky toho, že přesně neznáte svoji výhodu nad bookmakerovým kurzem, na úspěšnost Kellyho strategie, jsme nedávno probírali na mém twitterovém účtu. Rozhodl jsem se zjistit, jaký přesně by ten vliv byl.

Abyste mohli pomocí Kellyho metody určit výši sázky a řídit s ní spojená rizika, stačí vám přesně znát vaši průměrnou výhodu.

Netřeba zdůrazňovat, že pokud předpokládáte, že vyhrajete 52 % svých sázek se stejnou výší výhry i prohry, a nakonec jich vyhrajete jen 49 %, dlouhodobě na tom proděláte, ať výši sázek určujete jakkoli. Zajímavější je, zda neznalost přesné výhody jednotlivých sázek zvětší variabilitu a riziko spojené s Kellyho metodou.

Dlouhodobé záznamy o sázkách vám ukáží, jaká by vaše výhoda mohla být. Pokud jste získali 1050 dolarů z tisíce jednodolarových sázek, můžete rozumně předpokládat, že máte průměrnou výhodu 5 %. Jiný způsob odhadu výhody je porovnat kurzy, na které sázíte, se závěrečnými kurzy příslušných sázek.

Pokud vsadíte s kurzem 2,10 a Pinnacle danou sázko zakončí s kurzem 2,00, říká moje analýza dat, že máte 5% výhodu (nebereme zde v úvahu bookmakerovu marži). Taková analýza je však založena na velkém počtu agregovaných fotbalových zápasů. Ačkoli to může ukazovat na průměrnou výhodu, nelze na základě toho předpokládat, že takovou výhodu máme u každé sázky. S tím, jak velká nejistota výsledky všech sportovních akcí obklopuje, je celkem rozumné předpokládat, že tomu tak nebude.

Provedl jsem další simulaci Monte Carlo pro 250 sázek se stejnou výší výhry a prohry. Tentokrát jsem však namísto fixní 52% pravděpodobnosti výhry u všech sázek použil pravděpodobnost variabilní, a to podle normálního rozdělení pravděpodobností výhry. Průměr stále byl 52 %, jednotlivé hodnoty se však různily. Některé byly vyšší a jiné zas nižší.

Použil jsem směrodatnou odchylku 5 %, což znamená, že asi dvě třetiny hodnot byly mezi 47 % a 57 % a 95 % hodnot bylo mezi 42 % a 62 %. Ve skutečnosti jich asi třetina byla menší než 50 %, takže jejich očekávaná hodnota byla záporná. 

Výsledky byly docela překvapivé. I přesto, že třetina sázek měla zápornou očekávanou hodnotu, se riziko související s Kellyho strategií v podstatě nezměnilo. To v zásadě znamená, že dokud máte přesnou představu o své průměrné výhodě, není ji potřeba přesně znát pro jednotlivé sázky 

Kelly 1: přesně známe výhodu pro každou sázku. Kelly 2: Známe průměrnou výhodu, ale nikoli konkrétní výhody jednotlivých sázek 

Abych ověřil solidnost tohoto závěru, provedl jsem další simulaci, v níž jsem výrazně zvětšil počet sázek se zápornou očekávanou hodnotou.

Dvě stě třicet (neboli 92 %) z 250 sázek mělo pravděpodobnost výhry 49 %, což v podstatě odpovídá sázkové marži společnosti Pinnacle u oblíbených sázek se dvěma nebo třemi variantami výsledku. Zbývajícím 20 sázkám jsem stanovil pravděpodobnost výhry 86,5 %, aby průměr všech 250 sázek zůstal na 52 %. Výsledek byl přesně stejný.

Ve skutečnosti je samozřejmě velice nepravděpodobné, že sázkař neschopný nalézt nějakou hodnotu v 92 % svých sázek nějakým zázrakem najde u zbylých 8 % obrovskou očekávanou hodnotu. Toto cvičení nicméně dokazuje výše uvedené tvrzení: Abyste mohli pomocí Kellyho metody určit výši sázky a řídit s ní spojená rizika, stačí vám přesně znát vaši průměrnou výhodu.

Pro většinu sázkařů je mnohem tvrdším oříškem vůbec najít nějakou výhodu. Je snadné nechat se oklamat štěstím a iluzí kauzality a uvěřit, že umíte sázet lépe než ve skutečnosti. Při pouhé 49% úspěšnosti sázek se stejnou výší výhry a prohry a 4% výhodě selhává Kellyho strategie celkem pochopitelně mnohem častěji (má pak tříčtvrteční pravděpodobnost prodělku po 250 takových sázkách, zatímco u fixní výše sázek jsou to jen tři pětiny).