Znovu Kellyho kritérium, část 2: Zlomková varianta

Ve svém článku vydaném minulý měsíc jsem se ke Kellyho kritériu vrátil jako ke způsobu správy peněžních prostředků. Připomeňme si, že Kelly doporučuje sázet částky úměrné k pravděpodobnosti výhry a k výhodě, kterou podle svého názoru máte nad bookmakerovým kurzem.

Poměrně překvapivě jsem zjistil, že se Kellyho kritérium dokázalo vypořádat s riziky neznalosti přesné výše této výhody za předpokladu, že znáte přesně její průměrnou hodnotu. Přesto však bylo jasné, že Joe Peta měl pravdu, když ve své analýze Kellyho Kritéria napsal, že „ať vám výpočet očekávaného výnosu vyjde jakkoli, bude kolísání nesmírně vysoké a... naprosto nevhodné pro investování.“

V tomto článku se podíváme na to, jak lze rizika spojený s tímto kolísáním zmírnit a jaký vliv to bude mít na očekávanou ziskovost.

Problém Kelyho kritéria s plnou výší sázek

Lidé často tvrdí, že velkým problémem Kellyho metody je chaotický růst finančního zůstatku, protože zisky jsou narušovány někdy i dosti značnými ztrátami. Jinými slovy vývoj zůstatku je nestálý.

Uvědomíme-li si, jak se výše sázky podle Kellyho metody počítá (výhoda - 1 / kurz - 1), je jasné, že pokud prohraje sázka s nízkým kurzem, která podle našeho názoru měla značnou kladnou očekávanou hodnotu, dojde k náhlému a významnému propadu zůstatku.

Příkladem budiž zápas Ligue 1 z tohoto měsíce. Jistý konkurenční bookmaker stanovil kurz 1,35 na to, že PSG porazí Caen, zatímco u Pinnacle byl kurz 1,20. Po započtení marže to implikovalo očekávanou výhodu 11,5 % (za předpokladu, že kurz Pinnacle je nejpřesnější) a výše sázky podle Kellyho vycházela na 32,8%.

Zápas PSG a Caen skončil remízou a téměř třetina peněz určených na sázky Kellyho metodou by tak v této jediné sázce přišla vniveč. Je jasné, že takový propad si většina sázkařů nemůže dovolit, a to i pokud existují jiné příležitosti, kterými lze peníze v podobném rozsahu získat.

Prohry bolí víc, než jak se radujeme z výher

Pro většinu lidí, dokonce i těch, kteří rádi riskují, tak velké ztráty bolí podstatně víc, než jaké pozitivní pocity jim přinesou zisky podobného rozsahu. Ve své knize Thinking, Fast and Slow to Daniel Kahneman vysvětluje pomocí jednoduchého experimentu.

A) Dostali jste ke svému stávajícímu majetku ještě 1000 dolarů. A musíte si vybrat jednu ze dvou možností:

1) přijmout 50% šanci, že vyhrajete 1000 dolarů

2) zaručeně dostat 500 dolarů

B) Dostali jste ke svému stávajícímu majetku ještě 2000 dolarů. A musíte si vybrat jednu ze dvou možností:

1) přijmout 50% šanci, že přijdete o 1000 dolarů

2) zaručeně přijít o 500 dolarů

Z hlediska absolutní hodnoty majetku jsou výsledky problémů A a B shodné. Pokud si vyberete jistotu, zůstane vám v případech A i B 1500 dolarů (navíc k vašemu předchozímu majetku). Pokud si vyberete pravděpodobnost, zůstane vám v závislosti na výsledku 2000 nebo 1000 dolarů. Co byste si vybrali?

Když Kahneman a jeho kolega Amos Tversky tento experiment provedli, zjistili, že většina respondentů se v případě zisku u otázky A vyhýbala riziku a vybrala si jistotu, zatímco u otázky B se rozhodli riskovat a zkusit šanci s pravděpodobností.

Ekvivalentní vyjádření stejného rozhodovacího problému by měla vést k identickým volbám. Protože v tomto příkladu nevedla, chovali se respondenti evidentně iracionálně. Vysvětlit to lze tak, že problémy A a B mají různé výchozí body.

V případě A šlo o stávající majetek plus 1000 dolarů a v případě B o stávající majetek plus 2000 dolarů. Kahneman tvrdí, že protože jen málokdo z nás těmto výchozím bodům věnuje pozornost, není náš přístup k ziskům a prohrám odvozen z našeho vyhodnocení absolutních stavů majetku, ale ze stavů relativních. A z hlediska užitečnosti zisků a ztrát máme více neradi prohry, než jak máme rádi výhry.

Přijali byste spravedlivou sázku, která by v případě výhry mohla zvýšit váš zůstatek o třetinu, ale v případě prohry by jej o třetinu snížila? Pokud ne, podobně jako podle mého názoru většina z nás, vykazujete známky vyhýbání se prohře. Jak vysoká by musela být pravděpodobnost výhry, abyste změnili názor? 60%? 70%? 95%? Ještě vyšší?

Evoluční vysvětlení vyhýbání se ztrátám

Z evolučního pohledu není překvapivé, že nás ztráty motivují více než zisky. Jak vysvětlil Kahneman, živé bytosti, které vyhodnocují hrozby naléhavěji než příležitosti, mají větší šanci přežít a rozmnožit se.

Protože my v evoluční linii představujeme vítěze (koneckonců stále ještě existujeme), nutně to implikuje, že vyhýbání se ztrátám je podle přirozeného výběru upřednostňovanou adaptací.

Evoluce vyladila náš nervový systém tak, aby rozpoznával relativní změny stimulů spíše než jejich absolutní hodnoty. Sami si to můžete ověřit pomocí tří sklenic vody: jedné teplé, jedné studené a jedné vlažné.

Zhruba minutu nechte levou ruku ve sklenici s teplou vodou a pravou ruku ve studené vodě. Pak je obě současně ponořte do nádoby s vlažnou. I přesto, že se obě ruce nacházejí v prostředí se stejnou absolutní teplotou, bude vaše levá ruka cítit větší chlad a pravá ruka větší teplo. Důvodem jsou rozdílné referenční body, s nimiž jednotlivé ruce začínaly.

Vylepšení Kellyho kritéria pomocí zlomků

Jestliže kvůli naší predispozici k vyhýbání se ztrátám je riziko nestálosti spojené se sázením podle Kellyho metody s plnou výší sázky nezbytně příliš vysoké, je zřejmým řešením výši sázek podle Kellyho snížit. Jak se to ale projeví na očekávané ziskovosti této strategie správy financí?

Četné zdroje tvrdí, že snížením výše sázek podle Kellyho na polovinu může sázkař výrazně omezit nestálost vývoje zůstatku a přitom zachovat většinu očekávaných výnosů. Proveďme několik simulací, které ověří správnost tohoto tvrzení.

V prvním grafu níže vidíte příklad takové simulace se sérií 250 spravedlivých sázek (kdy vyhrajete stejnou částku, jakou byste prohráli), u nichž má sázkař 4% výhodu (očekávané procento výhry 52 %)

Porovnávali jsme čtyři systémy určování výše sázek: Kelly s plnou výší sázek, poloviční Kelly, čtvrtinový Kelly a osminový Kelly. Jestliže by podle Kellyho metody s plnou výší sázek byla výše sázky 8 %, pak poloviční, čtvrtinový a osminový Kelly dává výši sázky 4 %, 2 % a 1 %. Není překvapivé, že nestálost neboli variance vývoje zůstatku je největší u Kellyho metody s plnou výší sázek a nejmenší u sázek osminových.

V dalším grafu vidíme, že pokud se nám daří lépe, než jsme očekávali, dává Kellyho metoda s plnou výší sázek relativně mnohem lepší výsledky než její zlomkové varianty.

Nicméně stejně tak pokud máte smůlu, vede plná výše sázek k mnohem větším ztrátám. Třetí graf ukazuje sérii 10 sekvenčních ztrát, které snižují zůstatek o 30 %. U osminové varianty Kellyho metody jde pouze o 3,75 %. Jak jsme si už vysvětlili, ztráty takového rozsahu jsou pro většinu sázkařů nepřijatelné. A to i přesto, že Kellyho metoda s plnou výší sázek nabízí větší zisky.

Jde však jen o tři možné vývoje u spravedlivých sázek, u nichž má sázkař 4% výhodu. Abychom zjistili, co lze očekávat v průměru, musíme provést další simulaci Monte Carlo.

Provedl jsem dalších 10 000 simulací Monte Carlo, v nichž jsem čtyři zkoumané varianty Kellyho metody porovnával z hlediska pravděpodobnosti, že série sázek skončí s méně penězi, než s kolika začala. Pamatujte: zjistili jsme, že asi 14 % sázkových sérií skončilo s méně než 60 % počáteční výše zůstatku. To potvrzuje kritiku této strategie, kterou původně vyslovil Joe Peta.

V této nové simulaci jsem tento výsledek napodobil v mezích náhody. Níže uvedená tabulka obsahuje úplnou sadu pravděpodobností.

Snížení velikosti sázek podle Kellyho metody sice výrazně neovlivňuje pravděpodobnost toho, že po 250 spravedlivých sázkách nedosáhnete zisku, nicméně chrání proti podstatně větším ztrátám nad 20 %.

Snížení sázek podle Kellyho na polovinu sníží na polovinu i pravděpodobnost toho, že prohrajete 20 % svých prostředků. Pokud sázky opět snížíte na polovinu, příslušná pravděpodobnost klesne téměř na nulu. V případě prohry 40 % je pokles rizika ještě výraznější. Nicméně za jakou cenu z hlediska očekávané ziskovosti?

Další tabulka uvádí průměr a medián zůstatku po 250 sázkách pro všechny čtyři zkoumané strategie.

Ačkoli průměrný očekávaný zisk u poloviční varianty Kellyho metody je výrazně nižší než u varianty s plnými sázkami, medián očekávaného zisku je nižší jen o zhruba čtvrtinu. Pamatujte, že strategie s poměrnou výší sázek zkreslují očekávaný průměr ziskovosti kvůli několika velmi vysokým závěrečným zůstatkům. Lepším měřítkem toho, co lze typicky očekávat, je tedy medián. Medián 116 například říká, že asi 50 % závěrečných zůstatků bude menších nebo rovných 116 a asi 50 % jich bude větších. Zdálo by se tedy, že zmenšení rizika snížením výše sázky podle Kellyho metody na polovinu (nebo ještě více) je cenou, kterou stojí za to zaplatit.

V poslední tabulce uvádím výsledky druhé simulace Monte Carlo v případě, že sázkař má výhodu 8 % (pravděpodobnost výhry 54 %). Závěry jsou zhruba podobné: riziko neúspěchu lze výrazně snížit za cenu jen malého procenta očekávané ziskovosti (mediánu).

Je zlomková varianta Kellyho kritéria nejlepší metodou určování výše sázek?

Zdá se, že zlomková Kellyho metoda je pro sázkaře způsobem, jak vyřešit nestálost rizika spojeného s použitím Kellyho kritéria s plnou výší sázky. Přitom se není třeba vzdát příliš velké části výhody, kterou Kellyho kritérium přináší oproti fixní výšce sázky. Pro ty, kdo nemají rádi ztráty, to snad bude dobrou zprávou.

Samozřejmě jako vždy platí, že daleko náročnější je být si jisti, že skutečně máte oproti vypsanému kurzu výhodu. A věřit tomu a vědět to jsou dvě různé věci. Nenechte se ošálit přílišnou sebedůvěrou.