Analýza sázek metodou Monte Carlo

Metoda Monte Carlo je založena na opakovaném náhodném vzorkování, pomocí nějž přináší číselné výsledky i v případech, kdy by jiné matematické přístupy byly příliš složité. Zvláště se hodí pro sázkaře, kteří se příliš nevyznají v tradičních metodách statistického testování, protože k ní nepotřebujete rozsáhlé matematické znalosti.

Dominic Cortis již psal o tom, jak lze tuto metodu využít k předpovídání ve sportu, přičemž se zabýval specifickým příkladem předpovídání výsledků šampionátu Formule 1. Já se v tomto článku budu věnovat tomu, jakou variabilitu sázkových výsledků lze očekávat vlivem náhody. 

Analýza výsledků sázení

Sázková historie z mojí metodologie davové moudrosti, kterou v tomto článku využiji, obsahuje 1521 sázek a vykazuje zisk 0,76 % vsazené částky. Jak však poznám, zda je to způsobeno štěstím, smůlou nebo jde o neutrální výsledek?

Prvním krokem je srovnat jej s očekáváním. Implicitní součástí této metodologie je odhad spravedlivého sázkového kurzu pro každou sázku a následně i hodnoty očekávání. Například při skutečné pravděpodobnosti 2,00 by mi vypsaný sázkový kurz 2,10 nabídl očekávanou hodnotu 5 %, tedy 1,05 (vypočteno jako 2,10 / 2,00).

Skutečná pravděpodobnost 2,00 znamená pravděpodobnost výhry 50 %. Pokud vyhraji 50 ze 100 takových sázek a na každé vydělám 1,10 eura, přičemž zbylých 50 sázek prohraji a na každé z nich prodělám 1 euro, bude můj čistý zisk 5 eur (tedy 5 % z celkové vsazené částky 100 eur). Podobně vypsaný kurz 3,50 při skutečné pravděpodobnosti 3,00 by měl očekávanou hodnotu 16,67 %. V níže uvedené tabulce najdete vybrané tipy podle mého sázkového systému.

* Kurz společnosti Pinnacle s odečtenou marží

Pro kompletní sázkovou historii je snadné určit celkovou očekávanou hodnotu a očekávaný zisk, protože stačí spočítat průměr. U mé historie 1521 sázek to bylo 4,04 %. To znamená, že pokud by se můj sázkový systém choval přesně podle mých očekávání, byl by můj očekávaný zisk 61,45 eur při celkové výši sázek 1521 eur.

Ve skutečnosti tato sada sázek vykázala zisk 11,61 eur. Je zřejmé, že kvůli smůle dosáhla horších než očekávaných výsledků – samozřejmě za předpokladu, že můj předpovědní model fungoval správně. Otázka je o kolik. A právě zde nám může pomoci metoda Monte Carlo.

Provedení simulace Monte Carlo v Excelu

Provedení simulace Monte Carlo v programu typu Excel je poměrně jednoduché:

1. Pro každou sázku vypočítejte očekávanou pravděpodobnost výhry vyjádřenou desetinným číslem mezi 0 a 1. Je to převrácená hodnota skutečné pravděpodobnosti.
2. Pomocí funkce RAND v Excelu vytvořte pro každou sázku náhodné číslo mezi 0 a 1. Abychom určili, zda jednotlivé sázky v naší simulaci vyhrály nebo prohrály, stačí v Excelu zjistit, zda je náhodné číslo pro příslušnou sázku menší než očekávaná pravděpodobnost výhry. Pokud ano, přiřaďte k sázce zisk rovný kurzu – 1. Pokud ne, přiřaďte ztrátu -1. Obě hodnoty počítají s tím, že potenciální výhra i prohra u sázky jsou stejně vysoké.
3. Sečtěte jednotlivé zisky a ztráty všech sázek v simulaci a zjistíte výnos. V případě sázek se stejnou potenciální výší výhry a prohry stačí vydělit celkový zisk počtem sázek.
4. Pomocí funkce Tabulka dat v Excelu vytvořte nová náhodná čísla pro určený počet simulací.

Níže jsou uvedeny první dva kroky pro mé sázky.

Stiskem F9 přepočítáte všechna náhodná čísla a vznikne zcela nová simulace a nový teoretický výnos vzorku. Výsledek bychom po provedení každé simulace mohli zaznamenat ručně, pokud se však počet opakování pohybuje ve stovkách nebo tisících, bylo by to namáhavé a časově náročné.

Excel naštěstí nabízí snadnou a rychlou metodu, pomocí níž lze provést mnoho simulací najednou. Použijeme k tomu funkci Tabulka dat. Najdete ji v nabídce Data > Citlivostní analýza > Tabulka dat:

1. V jakékoli volné buňce excelové tabulky vypočtěte výnos pro svůj vzorek podle kroku tři uvedeného výše.
2. Dále vyberte buňky, které chcete vyplnit výnosy z nových simulací, a jeden sloupec vlevo.

1. Poté použijte funkci Tabulka dat programu Excel. Zobrazí se rámeček podobný tomu, který vidíte níže. V buňce Vstupní sloupec zadejte odkaz na jednu buňku. Může to být jakákoli buňka kromě těch, které jste vybrali v předchozím kroku.

   

2. Klikněte na OK a sledujte, jak se Excel činí. Vybrané buňky pod tou první budou vyplněny nově spočítanými výnosy, z nichž každý bude představovat jedno provedení simulace. V tomto příkladu jsem provedl šest simulací, jak vidíte níže.

Jak změřit vliv náhody na zisky ze sázek

Dr. Gerard Verschuuren vytvořil velmi užitečné výukové video na YouTube, v němž tento postup popisuje podrobněji. Lze provést libovolný počet simulací, ačkoli čím více jich bude, tím déle bude výpočet Excelu trvat. Pro účely tohoto článku jsem provedl 100 000 simulací (což trvalo asi pět minut).

Další důležité poučení, které byste si měli z tohoto článku odnést, je možný vliv smůly na kladnou očekávanou hodnotu u poměrně velkých sázkových historií.

Průměrný výnos byl 4,05 %, tedy téměř stejný jako očekávaná hodnota mojí sázkové historie. Projevovala se však velká variabilita, výnos se pohyboval od nejhoršího výsledku -12,23 % až po nejlepší výsledek 23,26 %.

Téměř 17 % simulací skončilo se ztrátou, ačkoli moje sázková historie měla teoretickou očekávanou hodnotu více než 4 %. V 78 % případů by bylo možno očekávat vyšší výnos, než bylo skutečných 0,76 %.

Ve skutečnosti bychom z těchto dat mohli v Excelu vypočítat, s jakou pravděpodobností lze dosáhnout jakékoli určité hranice výnosu, aniž bychom museli používat statistické testy. Metoda Monte Carlo to udělá všechno za nás. Úplné rozdělení všech 100 000 simulovaných výnosů je zakresleno v níže uvedeném grafu (s 0,1% přírůstky na ose x). Ti z vás, kteří znají normální rozdělení, si jistě všimnou, že se s ním tento graf téměř shoduje.

Samozřejmě pokud by můj skutečný výnos byl například -5 % nebo méně (což lze očekávat v pouhém 1 % případů), mohl bych se zamýšlet nad tím, zda ve skutečnosti není chyba v mém sázkovém modelu. Metoda Monte Carlo je tedy zjevně užitečným nástrojem, který nám pomůže při subjektivních hodnoceních.

Je chyba v systému sázení nebo jen mám smůlu?

Další důležité poučení, které byste si měli z tohoto článku odnést, je možný vliv smůly na kladnou očekávanou hodnotu u poměrně velkých sázkových historií. Moje sázková historie obsahuje více než 1500 sázek a má očekávanou hodnotu přes 4 %. I přes takovou výhodu simulace Monte Carlo ukázaly, že ve více než jedné pětině případů mohu prodělat.

Jak byste se cítili, pokud by vaše sázková strategie měla podobnou výhodu a přesto vám po 1500 sázkách nepřinesla vůbec nic? Věřili byste své metodě, sváděli mizerné výsledky na smůlu, nebo přestali věřit celému svému přístupu?

Takové dilema lze vyřešit například zvětšením vzorku. Opět si můžeme pohrát s metodou Monte Carlo a zjistit, jaký vliv bude mít zvětšení počtu zkoumaných sázek. V rámci myšlenkového experimentu jsem zvětšil svůj původní počet 1521 sázek desetinásobně (jednoduše jsem k původním sázkám přidal devět jejich opakování). Provedení další simulace se 100 000 opakováními přineslo tyto výsledky:

• Průměrný výnos = 4,04 %
• Nejnižší výnos = -1,21 %
• Nejvyšší výnos = 10,17 %
• Pravděpodobnost výnosu < 0 % = 0,1 %
• Pravděpodobnost výnosu > 0,76 % = 99,3 %

Níže je uvedeno nové rozdělení 100 000 simulací vykreslené nad původním rozdělením pro vzorek 1521 sázek.

Zjevný rozdíl mezi těmito dvěma velikostmi vzorků je šířka rozptylu čili rozsah možných výnosů. Pro větší sadu sázek je mnohem užší. Takový výsledek je naprosto předpokládatelný, je totiž jednoduchým důsledkem zákonu velkých čísel.

Posouzení výsledků simulace Monte Carlo

Čím rozsáhlejší sázkovou historii použiji, tím je pravděpodobnější, že skutečný výsledek bude blíže očekávání. Samozřejmě za předpokladu, že moje metodologie předpovídání funguje správně. Důsledkem je, že pokud by i po více než 15 000 sázkách byl výnos jen 0,76 % nebo méně, začal bych se nad správností předpovědí vážně zamýšlet.

Metoda Monte Carlo vám s jistotou neřekne, zda váš systém je něco víc než jen dílo náhody. Přesto představuje užitečný nástroj, který vám může pomoci při informovaném rozhodování o tom, zda jde o něco víc než jen náhodu. Ukáže vám rozsah možných výsledků, které lze rozumně očekávat v rámci štěstí a smůly.